Resposta — Qual a probabilidade de formar um triângulo?

Resposta a post anterior: https://ideiasesquecidas.com/2024/02/17/qual-a-probabilidade-de-formar-um-triangulo/

Suponha que uma barra de comprimento L seja quebrada em três pedaços, onde as posições de quebra são escolhidas de forma aleatória.

Qual a probabilidade de que esses três pedaços possam ser usados para formar um triângulo?

Para os três pedaços formarem um triângulo, as relações abaixo devem ser satisfeitas:

P1 < P2+P3

P2 < P1+P3

P3 < P1+P2

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Solução 1: Análise teórica.

O link a seguir tem uma bela solução: .Problemão: Probabilidade com macarrão — Clubes de Matemática da OBMEP

Vamos chamar as três partes de x, y e 1-x-y

Pela condição inicial:

x>0,

y>0

x+y<1 , ou seja, y<−x+1

Isso significa que o par ordenado (x,y) que contém as variáveis iniciais de nosso problema pertence à região verde indicada na figura abaixo. Essa área representará, portanto, nosso espaço amostral.

Olhemos, agora, para as condições de interesse. Pela desigualdade triangular, temos que:

x + (1-x-y) >= y -> y<= 0.5

y + (1-x-y) >= x -> x<= 0.5

Isso significa que o par ordenado (x,y) que contém as variáveis satisfazendo nossas condições de interesse pertence à região azul indicada abaixo.

Para finalizar, observem que a região azul corresponde a ¼ de nosso espaço amostral; assim, essa será a probabilidade procurada: 25%

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Solução por simulação

Primeiro, sorteio dois valores aleatórios entre 0 e 1, para representar os locais a serem partidos.

A seguir, ordeno os pedaços, para verificar qual é o maior e qual o menor.

Depois, calculo os comprimentos dos pedaços.

• o primeiro trecho terá tamanho igual ao ponto de menor quebra 0,22, no caso
• o segundo trecho terá tamanho igual ao maior — menor, ou seja, 0,75
• o terceiro trecho terá tamanho igual a 1 — maior, no caso, 0,03

A seguir, checo a desigualdade triangular para ver se forma um triângulo.

P1 < P2+P3

P2 < P1+P3

P3 < P1+P2

Repito o mesmo procedimento para várias linhas (digamos, 140) e conto quantas vezes o triângulo foi formado.

Uma estimativa deu 28,%

Mandando calcular de novo (com F9), terei outra estimativa de valor. Vai orbitar em torno de 25%.

Podemos utilizar simulações de Monte Carlo semelhantes ao exemplo, para situações bem mais complexas, como no dimensionamento de estoques e de uma cadeia de supply chain.

Veja também:

Originally published at https://ideiasesquecidas.com on February 20, 2024.