Resposta do puzzle sobre probabilidades condicionais

Relembrando a pergunta.

Eu tenho três moedas. A primeira tem cara dos dois lados, a segunda tem cara num lado e coroa do outro, e a terceira tem coroa dos dois lados.

Digamos que eu tenha colocado as três moedas numa cartola e sorteado uma das moedas.

A moeda sorteada tem cara em um dos lados.

Qual a probabilidade do outro lado da moeda sorteada ser cara também?

Resposta

Para resolver esse problema, podemos usar o Teorema de Bayes para probabilidades condicionais.

Seja:
C1 — Evento de escolher a primeira moeda (cara-cara)
C2 — Evento de escolher a segunda moeda (cara-coroa)
C3 — Evento de escolher a terceira moeda (coroa-coroa)

Temos então as seguintes probabilidades:

P(C1) = 1/3 (prob. de escolher a primeira moeda)
P(C2) = 1/3 (prob. de escolher a segunda moeda)
P(C3) = 1/3 (prob. de escolher a terceira moeda)

Agora, o evento A é a moeda sorteada ter cara em um dos lados. Dado que sabemos que o lado sorteado é cara, isso significa que só podem ser as moedas C1 ou C2.

Então:
P(A|C1) = 1 (probabilidade de sair cara se escolhermos a primeira moeda)
P(A|C2) = 1/2 (probabilidade de sair cara se escolhermos a segunda moeda)

Agora, podemos calcular a probabilidade desejada usando o Teorema de Bayes:

P(C1|A) = P(A|C1) P(C1)/P(A) P(C2|A) = P(A|C2) P(C2)/P(A)

Como calcular P(A)?

P(A) = P(A|C1) P(C1) +P(A|C2) P(C2)

Calculando:
P(A) = 1 1/3 + 1/2 1/3 = 1/2

P(C1|A) = (1 1/3)/(1/2) = 2/3 P(C2|A) = (1/2 1/3)/(1/2) = 1/3

Então, a probabilidade de o outro lado da moeda ser cara também, dado que o lado sorteado é cara, é igual a 2/3.

Originally published at https://ideiasesquecidas.com on April 25, 2024.