Resposta do Puzzle das Areias coloridas

Enunciado:

Estive a passear numa das belas praias do Nordeste brasileiro, onde pensei num puzzle.

Suponha que a praia tenha dois tipos de areia: azul e rosa. E eu tenho uma quantidade infinita de baldes de mesmo tamanho.

Preencho o primeiro balde com 1/2 de areia azul e 1/2 de areia rosa.

Nos baldes seguintes, vou dividindo a quantidade de areia rosa pela metade.

Assim, o segundo balde terá 3/4 de areia azul e 1/4 de areia rosa.

O terceiro balde terá 7/8 de areia azul e 1/8 de areia rosa.

O quarto balde terá 15/16 de areia azul e 1/16 de areia rosa.

E assim sucessivamente, ad infinitum.

Suponha que a minha esposa, que também estava na viagem, escolheu um balde qualquer e pegou um punhado de areia rosa.

Qual a probabilidade do balde escolhido ser aquele que preenchi primeiro?

Resposta:

Como os baldes são iguais, todos têm a mesma chance de serem escolhidos.

A quantidade total de areia rosa será igual a 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

Esta série é uma progressão geométrica, cuja soma é igual a 1.

É possível provar que a soma é igual a 1 de duas formas:

a) Fórmula da PG: S = a1/(1-q), onde q é razão (1/2) e a1 é o termo inicial (1/2 também).

b) Numericamente: crie a série numa linguagem qualquer ou no Excel, some e veja que a contribuição de cada termo será cada vez menor, e que a soma tende a 1.

A probabilidade de escolher um balde específico, dado que pegou um punhado de areia rosa, é proporcional à quantidade de areia rosa nesse balde.

Portanto:

P(Balde1) = (1/2)/1 = 1/2.

Originally published at http://ideiasesquecidas.com on November 28, 2024.