O Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas

Um teorema curioso, de Teoria dos Números, é o do exposto no título.

Sequências de números da forma a*n+b geram infinitos números primos, quando a e b são coprimos.

Vamos começar com uma versão mais simples.

Seja a sequência de números da forma 4n+1, onde n é um número inteiro.

A sequência gerada será igual a 5, 9, 13, 17, 21, 25, etc.

Desses, 5, 9, 13, 17, são primos, já 21 e 25 são composto. Continuando a sequência infinitamente, teremos infinitos primos na lista.

Vamos provar que existem infinitos números primos da forma 4n+1.

Essa demonstração utiliza uma estratégia inspirada pela famosa prova de Euclides da infinitude dos números primos, mas com adaptações para trabalhar especificamente com números primos da forma 4n+1.

Etapas da prova:

Suponha que existam apenas um número finito de primos da forma 4n+1.

Vamos supor, por contradição, que existam apenas k números primos da forma 4n+1.

Assim, todos os primos da forma 4n+1 estariam nesta lista, e vamos chamá-los de p1, p2 até pk.

Agora, vamos considerar um número específico construído a partir desses primos:

Esse número N é um número inteiro positivo que, por construção, não é divisível por nenhum dos primos p1 a pk anteriores, pois, quando dividimos N por qualquer um desses primos, o resto é 1.

O número N que acabamos de gerar é da forma 4n+1:

Portanto, o número gerado N é primo, da forma 4*n+1 e é maior do que qualquer outro da lista anterior, o que contradiz com a suposição inicial.

Ou seja, há uma infinidade de números da forma 4*n+1.

O Teorema de Dirichlet diz que sequências de números da forma a*n+b geram infinitos números primos, quando a e b são coprimos.

Os números a e b são coprimos se o único divisor comum entre ambos é igual a 1.

Se a e b não forem coprimos, há um divisor d que divide tanto a quanto b, e que vai dividir o número gerado — ou seja, não será primo.

Exemplo. Uma sequência como 4*n + 2 terá todos os números divisíveis por 2.

Um caso particular de a n+b, com a e b coprimos, é a expressão 4 n+1 discutida anteriormente.

Infelizmente, a prova formal do Teorema de Dirichlet, para a e b genéricos, envolve conceitos bem mais complexos e fica de fora deste post.

Fica a conclusão: O Teorema de Dirichlet diz que sequências de números da forma a*n+b geram infinitos números primos, quando a e b são coprimos.

Originally published at https://ideiasesquecidas.com on September 29, 2024.