Negativo X Negativo = Positivo. Por quê?

O post tem duas partes.

1.1 — Significado de negativo

Os números ajudam a contar as grandezas existentes no mundo: 1 carneiro, 5 pessoas, João empresta 10 reais a Alfredo.

A linha dos números Naturais é assim:

Com o tempo, as pessoas viram a necessidade de criar números negativos: estou devendo 2 carneiros, faltam 5 pessoas para fechar o pacote, Alfredo deve 10 reais a João.

A linha dos números Inteiros é assim:

Se multiplico o número 2 pelo número 3, ando 3 vezes seguidas um vetor de tamanho 2 na reta dos inteiros.

Se multiplico o número -2 pelo número 3, ando 3 vezes seguidas um vetor de tamanho 2 na reta dos inteiros, mas na direção oposta.

Note que a reta positiva é igual à negativa, exceto que espelhada no zero.

1.2 Multiplicação de números negativos

Tomando a reta dos inteiros como base, podemos interpretar a multiplicação por -1 como uma reflexão em torno do zero, uma rotação de 180 graus.

É como se chegasse um rei e dissesse: a partir de agora todos os créditos viram débitos e todos os débitos viram créditos. Se Alfredo estava devendo R$ 10,00 para o João, agora João é que está devendo R$ 10,00 para Alfredo.

Note a simetria: as coisas se invertem na direção oposta, sem perder a magnitude.

1.3 Propriedade distributiva

Olha só como fica a conta -3*(2–2)

Represento 2 e -2 na reta:

A soma deles é zero, porque é como se duas forças iguais puxassem um pacote: não sai do lugar. Multiplicando zero por -3, tenho zero de resposta.

Por outro lado, -3*(2–2) = -3*2 + -3*-2, pela propriedade distributiva.

E -6 + 6 = 0. Portanto, fazer a conta das duas formas dá o mesmo resultado.

A definição -1 * -1 = +1 permite que a álgebra tenha a propriedade distributiva. E a álgebra contém simetrias. Ela é consistente com a matemática como um todo, e existe até um ramo da Matemática que estuda isto: a Teoria de Grupos. E foi com esta matemática que a humanidade calculou áreas, resolveu equações, projetou edifício, barragens, máquinas, chegou a Lua e construiu a bomba atômica.

Interlúdio: Números complexos

O mais legal é esta noção de rotação se encaixa no corpo dos números complexos.

Multiplicar por i (imaginário) significa rotacionar 90 graus:

Números complexos combinam com rotações e rotações combinam com funções periódicas.

Uma função periódica importante é a eletricidade. A rede elétrica de todas as casas do mundo é em corrente alternada, e números complexos são a ferramenta ideal para descrevê-las.

Parte 2 — A Tabajara Álgebra?

Num outro universo, -1 * -1 não precisa ser igual a 1. Podemos definir -1 * -1 = -1. Mas isto não é álgebra normal.

Vamos chamar a álgebra que define negativo * negativo = negativo de Tabajara Álgebra. Algumas consequências: esta álgebra não teria simetria em torno do zero nem propriedade distributiva.

-3*(2–2) = -3*2 + -3*-2, propriedade distributiva.

-3*2 = -6, pela Tabajara álgebra

-3*-2 = -6, pela Tabajara álgebra (lembre-se que negativo * negativo = negativo)

Portanto, -3*2 + -3*-2 =-12, ao passo que -3*(2–2) =0.

Não tem nada de errado na conta, a única coisa esquisita é que a propriedade distributiva não vale mais.

Veja também:

Laboratório de Matemática:

Logaritmos neperianos e vulcanos

Originally published at https://ideiasesquecidas.com on May 16, 2016.

Project Manager on Analytics and Innovation. “Samurai of Analytics”. Passionate about Combinatorial Optimization, Philosophy and Quantum Computing.

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